Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知a₃=5，S₉=81，
①求数列{a_n}的通项公式；
②设bn=2an，证明{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．
③设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n} 的前n项的和M_n．

Answer 1

分析：①由等差数列中，a₃=5，S₉=81，利用通项公式和前n项和公式列出方程组

a1+2d=5 9a1+ 9×8 2 d=81

，求出a₁=1，d=2，由此能求出a_n=2n-1．
②由bn=2an，知bn=2^2n-1=

1

2

×4n，由此能够证明{b_n}是以2以道貌岸然项，以4为公比的等比数列．并能求出其前n项和T_n．
③由c_n=a_n•b_n=（2n-1）•

1

2

×4n，知M_n=（2-1）•

1

2

×4+（2×2-1)•

1

2

×42•

1

2

×42+（2×3-1）•

1

2

×43+…+[2(n-1)-1]•

1

2

×4n-1+（2n-1）•

1

2

×4ⁿ，由错位相减法能够求出数列{c_n} 的前n项的和M_n．

解答：解：①∵等差数列，a₃=5，S₉=81，
∴

a1+2d=5 9a1+ 9×8 2 d=81

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②∵bn=2an，
∴bn=2^2n-1=

1

2

×4n，
b1=

1

2

×4=2，bn-1=

1

2

×4n-1，

bn

bn-1

=4，
∴{b_n}是以2以道貌岸然项，以4为公比的等比数列．
T_n=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)．
③∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•

1

2

×4n，
∴M_n=（2-1）•

1

2

×4+（2×2-1)•

1

2

×42•

1

2

×42+（2×3-1）•

1

2

×43+…+[2(n-1)-1]•

1

2

×4n-1+（2n-1）•

1

2

×4ⁿ，
4Mn=(2-1)•

1

2

×42+(2×2-1)•

1

2

×43+(2×3-1)•

1

2

×44+…+[2(n-1)-1]•

1

2

×4n+（2n-1）•

1

2

×4ⁿ⁺¹，
∴-3Mn=2+42+43+…+4n-(2n-1)•

1

2

×4ⁿ⁺¹
=2+

16(1-4n-1)

1-4

-（2n-1）•

1

2

×4n+1
=2+

16

3

(4n-1-1)-(4n-2)•4n，
∴Mn=-

2

3

-

16

9

+

(4n-2)•4n

3

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，等比数列的证明，前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的灵活运用．