Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）证明：因为平面，，∴，.......................1分

，∴

∴，∴...........................................2分

又，.

∴平面，.................................................................4分

又∵，∴平面平面. ...........................5分

（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，,

设（），则，

，，，.......6分

取

则，∴为面的法向量

设为面的法向量，则，

即，取，，，则，.............. 8分

依题意，，则 ...............9分

于是，.........................................10分

设直线与平面所成角为，则，

则直线与平面所成角的正弦值为. ............................12分

【命题意图】本题主要考查空间线面平行与面面垂直的证明、空间向量在立体几何中的应用，考查空间想象能力与逻辑思维能力等，是中档题.