Question

（本小题满分12分）已知函数.

（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；

（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；

（3）当时，试比较与的大小.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）由代入函数解得a的值，既得函数的解析式，再由恒成立，分离变量得恒成立，利用导数求新函数的单调性，从而得的最小值，既得实数b的取值范围；（2）先求导函数，若函数在定义域上是单调函数，则恒成立，当时，，求函数的最大值，可得a的取值范围；当时，，由于函数无最小值，则不恒成立，可得解；（3）由（1）知在（0,1）上单调递减，则时，即，而时， ．

试题解析：（1）∵，∴a=1． f（x）=x2+x-xlnx.

由x2+x-xlnx≥bx2+2x，

令，可得在上递减，

在上递增，所以，即

（2）

，，

时，函数在单调递增．

，

，

，

，必有极值，在定义域上不单调.

（3）由（1）知在（0,1）上单调递减

∴时，即

而时，

．

考点：1、利用导数判断函数的单调性及最值；2、恒成立问题；3、不等式、函数及导函数的综合应用.