Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m.?

(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3；

（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论.

Answer 1

解法一：（1）如图，连AC，设AC∩BD=O,AP与面BDD₁B₁交于点G，连OG，因为PC∥面BDD₁B₁，而BDD₁B₁∩面APC=OG，故OG∥PC，所以OG=PC=.又AO⊥DB，AO⊥BB₁，所以AO⊥面BDD₁B₁，故∠AGO即为AP与面BDD₁B₁所成的角.?

在Rt△AOG中，tan∠AGO==3,?

即m=.?

故当m=时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3.?

（2)依题意,要在A₁C₁上找一点Q,使 得D₁Q⊥AP,可推测A₁C₁的中点O₁即为所求的Q点,?

因为D₁O₁⊥A₁C₁,D₁O₁⊥AA₁,所以D₁O₁⊥面ACC₁A₁.?

又AP ACC₁A₁,故D₁O₁⊥AP.

从而D₁O₁在平面AD₁P上的射影与AP垂直.

解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1)?

所以=(-1,1,0),=(0,0,1),?

=(-1,1,m),=(-1,1,0),?

又由·=0，·=0知，为平面BB₁D₁D的一个法向量.?

设AP与平面BB₁D₁D所成的角为θ,?

则sinθ=cos(-θ)?

==?

依题意有=,?

解得m=,??

故当m=时，直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3.?

(2)若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x ,则Q（x,1-x,1）,=(x,1-x,0).

依题意，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，等价于D₁Q⊥AP·=0-x+(1-x)=0x=.?

即Q为A₁C₁的中点时，满足题设要求.

点评：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.