题目内容
【题目】政府工作报告指出，2018年我国深入实施创新驱动发展战略，创新能力和效率进一步提升；2019年要提升科技支撑能力，健全以企业为主体的产学研一体化创新机制.某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入；该企业连续6年来的科技投入
（百万元）与收益
（百万元）的数据统计如下：
科技投入 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益 |
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根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线
的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：
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其中
，
.
(1)（i）请根据表中数据，建立关于
的回归方程（保留一位小数）；
（ii）根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少（其中
）？
(2)乙认为样本点分布在二次曲线
的周围，并计算得回归方程为
，以及该回归模型的相关指数
，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好.
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
，相关指数：
.
【答案】(1)(i) 
；(ii) 
百万元；(2)甲.
【解析】
（1）（i）由数据可得
,由指数曲线
,取对数,设
,令
,则
,代入公式求解可得
,进而求解即可；
（ii）令
,求解即可；
（2）由（1）,将科技投入
数据依次代入中得到
,得到关于残差的数据,求得
,利用公式求得相关指数,比较即可
(1)(i)
,
令,
令,则,根据最小二乘估计可知:
,
从而
,
故回归方程为,即
(ii)令,则
,即
,
所以科技投入的费用至少要百万元
(2)由（1）,将科技投入数据依次代入中得到,则计算残差：
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| 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 |
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| 16 |
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则,从而
.
即甲建立的回归模型拟合效果更好.
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