题目内容
18．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点．设函数f（x）=ax2+bx+1（a＞0）．（Ⅰ）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，
（ⅰ）当x1＜1＜x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m＞$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求实数b的取值范围．
分析 （Ⅰ）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-2x+1，构造方程f（x）=x，解得答案；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，则x1，x2是方程f （x）=x的两相异根，
（ⅰ）当x1＜1＜x2时，m=-$\frac{b}{2a}$，结合韦达定理，可得m＞$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，由韦达定理构造关于b的不等式，解得实数b的取值范围．
解答 解：（Ⅰ）依题意：f（x）=2x2-2x+1=x，即2x2-3x+1=0，
解得$x=\frac{1}{2}$或1，即f（x）的不动点为$\frac{1}{2}$和1； …（5分）
（Ⅱ）（ⅰ） 由f （x）表达式得m=-$\frac{b}{2a}$，
∵g（x）=f （x）-x=a x2+（b-1）x+1，a＞0，
由x1，x2是方程f （x）=x的两相异根，且x1＜1＜x2，
∴g（1）＜0⇒a+b＜0⇒-$\frac{b}{a}$＞1⇒-$\frac{b}{2a}$＞$\frac{1}{2}$，即 m＞$\frac{1}{2}$． …（9分）
（ⅱ）△=（b-1）2-4a＞0⇒（b-1）2＞4a，
x1+x2=$\frac{1-b}{a}$，x1x2=$\frac{1}{a}$，
∴|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1x2=（$\frac{1-b}{a}$）2-$\frac{4}{a}$=22，…（11分）
∴（b-1）2=4a+4a2（*）
又|x1-x2|=2，
∴x1、x2 到 g（x） 对称轴 x=$\frac{1-b}{2a}$的距离都为1，
要使g（x）=0 有一根属于 （-2，2），
则 g（x） 对称轴 x=$\frac{1-b}{2a}$∈（-3，3），…（13分）
∴-3＜$\frac{b-1}{2a}$＜3⇒a＞$\frac{1}{6}$|b-1|，
把代入 （*） 得：（b-1）2＞$\frac{2}{3}$|b-1|+$\frac{1}{9}$（b-1）2，
解得：b＜$\frac{1}{4}$或 b＞$\frac{7}{4}$，
∴b 的取值范围是：（-∞，$\frac{1}{4}$）∪（ $\frac{7}{4}$，+∞）．…（15分）
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，韦达定理，是二次方程与二次函数，二次不等式的综合应用，难度较大．
阅读快车系列答案
| A． | {-1，0，1} | B． | {2，3} | C． | {-2，2，3} | D． | {-1，0，1，2，3} |
将正奇数组成的数列{an}，按下表排成5列：| 第1列 | 第2列 | 第3列 | 第4列 | 第5列 | |
| 第一行 | 1 | 3 | 5 | 7 | |
| 第二行 | 15 | 13 | 11 | 9 | |
| 第三行 | 17 | 19 | 21 | 23 | |
| 第四行 | … | … | 27 | 25 |
（Ⅱ）已知点A1（a1，b1），A2（a2，b2），…，An（an，bn）在指数函数y=2x的图象上，如果，以A1，A2，…，An为一个顶点，x轴y轴为邻边构成的矩形面积为S1，S2，…Sn，求S1+S2+…+Sn的值Tn．
| A． | 2 | B． | 2.5 | C． | 2$\sqrt{3}$-1 | D． | 2$\sqrt{2}$+1 |
一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）| A． | $12\sqrt{3}+4\sqrt{3}π$ | B． | $\frac{{4\sqrt{39}}}{3}+\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$ | C． | $12\sqrt{3}+\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$ | D． | $4\sqrt{3}+\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$ |
| A． | $\frac{7\sqrt{2}}{6}$ | B． | $\frac{7}{3}$ | C． | 2$\sqrt{2}$ | D． | 2 |