Question

已知函数(a为实常数).
(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）当时，，当，；
（2）当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，
的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，
相应的x值为．
（3）。

试题分析：（1）当时，，当，，
故函数在上是增函数．         4分
（2），当，．
若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．                6分
若，当时， ；当时，，此时
是减函数； 当时，，此时是增函数．故
．
若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．    8分
综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，
的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，
相应的x值为．        10分
（3）不等式，可化为．
∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，
因而（）      12分
令（），又，       14分
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以a的取值范围是．      6分
点评：（1）利用导数研究函数的单调性，一定要先求函数的定义域；（2）利用导数求函数的单调区间，实质上就是求导数大于零或小于零的解集，这样问题就转化为解不等式的问题，尤其是含参不等式的解法要注意分类讨论。二次含参不等式主要讨论的地方有：开口方向，两根的大小和判别式∆。