Question

已知函数f（x）=x²-2ax+3，x∈[0，2]．
①当a≥2时，f（x）在[0，2]上的最小值为-13，求a的值；
②求f（x）在[0，2]上的最小值g（a）；
③求②中g（a）的最大值．

Answer 1

分析：利用二次函数的图象性质分别研究函数的最值即可．

解答：解：f（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，函数的对称轴为x=a，抛物线开口向上．
①当a≥2时，[0，2]⊆（-∞，a]，
∴f（x）在[0，2]上是减函数，
∴f（x）_min=f（2）=7-4a=-13，
∴a=5．
②当a≥2时f（x）在[0，2]上是减函数，
∴g（a）=f（x）_min=f（2）=7-4a
当a≤0时f（x）在[0，2]上是增函数，
∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
当0＜a＜2时，f（x）在[0，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数．
∴g(a)=f(x)min=f(a)=3-a2，
∴g(a)=

7-4a(a≥2) 3-a2(0＜a＜2) 3(a≤0)

．
③由②知∴g(a)=

7-4a(a≥2) 3-a2(0＜a＜2) 3(a≤0)

．
当a≥2时，7-4a≤-1，
当0＜a＜2时，-1＜3-a²＜3，
当a≤0时，g（a）=3，
∴g（a）_max=3（a≤0）

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法得到函数对称轴是解决本题的关键．