Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）= ．若不等式g（2x）﹣k2x≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0），
∴f（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+b，
∴函数f（x）的图象的对称轴方程为x=1，
∵a＞0，∴f（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+b在区间[2，3]上递增．
∵二次函数f（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
∴依题意得 ，解得 ，
∴f（x）=x2﹣2x+1．…6 分
（Ⅱ）∵g（x）= ，∴g（x）= =x+ ，
∵不等式g（2x）﹣k2x≥0对任意x∈[1，2]恒成立，
∴ 对任意x∈[1，2]时恒成立，
∴k≤（ ）2﹣2（ ）+1对任意x∈[1，2]时恒成立
只需k≤[（ ）2﹣2（ ）+1]min ，
令t= ，由x∈[1，2]，得t∈[ ]，
设h（t）=t2﹣2t+1，
∵h（t）=t2﹣2t+1=（t﹣1）2 ，
当t= ，即x=1时，h（t）取得最小值 ．
∴k≤h（t）min=h（ ）= ．
∴k的取值范围为（﹣∞， ]
【解析】（Ⅰ）f（x）=a（x﹣1）2﹣a+1+br 对称轴方程为x=1，在区间[2，3]上递增，由此列出方程组能求出a，b，从而能求出f（x）的解析式．（Ⅱ）由g（x）= =x+ ，得 对任意x∈[1，2]时恒成立，从而只需k≤[（ ）2﹣2（ ）+1]min ， 由此能求出k的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．