题目内容

已知α，β∈(0，)，且sinβcscα=cos(α+β)，α+β≠，当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值．

 

答案：
解析：

本题可分为如下解题目标：

    （1）求tanβ（用α的三角式表示）；

    （2）求tanα的值；

    （3）最后求tan(α+β)．

    ∵sinβcscα=cos(α+β)，

    ∴(割化弦)

    即sinβ=sinαcos(α+β)(公式化整式)

    =sinαcosαcosβ－sin2αsinβ(用和角公式)

    于是tanβ=sinαcosα－sin2αtanβ（产和tanβ）

    解得

    （“1”的代换）=（用二元均值不等式求最大值）=，

    当2tan2α=1，即时，tanβ取得最大值，此时，tan(α+β)=

 


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