Question

左焦点为F的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的右支上存在点A，使得直线FA与圆x²+y²=a²相切，则双曲线C的离心率取值范围是

(

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：利用直线FA与圆x²+y²=a²相切，可求得切线的斜率为

a

b

，再分析出切线AF的斜率小于渐进线y=

b

a

x的斜率

b

a

，即可求得双曲线C的离心率取值范围．

解答：解：设直线FA的方程为：y=k（x+c），∵直线FA与x²+y²=a²相切，
∴a=

|ck|

1+k2

，
∴a²+a²k²=c²k²，
∴b²k²=a²，又k＞0，
∴k=

a

b

，
∵切线与右支有交点A，则切线AF的斜率小于渐进线y=

b

a

x的斜率

b

a

，
即

a

b

＜

b

a

，
∴a²＜b²，又b²=c²-a²，
∴c²＞2a²．
∴e²=

c2

a2

＞2，
∴e＞

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质，分析出切线AF的斜率小于渐进线y=

b

a

x的斜率

b

a

是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．