Question

函数f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)，x∈[-

π

12

，

π

2

]的值域是______．

Answer 1

函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

sin2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，
因为f（x）=sin（2x-

π

6

）在区间[-

π

12

，

π

3

]上单调递增．
在区间[

π

3

，

π

2

]单调递减，所以当x=

π

3

，f（x）取最大值l．
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，
当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

，
所以函数f（x）在区间上的值域为[-

3

2

，1]．
故答案为：[-

3

2

，1]