Question

15．若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）

• A． [1，$\frac{3}{2}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
∴函数的f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）＞0解得x＞$\frac{1}{2}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0解得0＜x＜$\frac{1}{2}$，此时函数单调递减，
故x=$\frac{1}{2}$时，函数取得极小值．
①当k=1时，（k-1，k+1）为（0，2），函数在（0，$\frac{1}{2}$）上单调减，在（$\frac{1}{2}$，2）上单调增，此时满足题意；
②当k＞1时，∵函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，
∴x=$\frac{1}{2}$在（k-1，k+1）内，
即$\left\{\begin{array}{l}{k-1＜\frac{1}{2}}\\{k+1＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{3}{2}}\\{k＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$-\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{2}$，
此时1＜k＜$\frac{3}{2}$，
综上1≤k＜$\frac{3}{2}$，
故选：A

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键．