Question

若函数f（x）=8x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（　　）

• A．[1，+∞）
• B．[1，

  5

  4

  ）
• C．[1，2）
• D．[

  5

  4

  ，2）

Answer 1

分析：先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解方程fˊ（x）=0，使方程的解在定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内，建立不等关系，解之即可．

解答：解：∵f（x）定义域为（0，+∞），
又f′（x）=16x-

1

x

=

16x2-1

x

，
由f'（x）=0，解得x=

1

4

，
当x∈（0，

1

4

）时，f′（x）＜0，当x∈（

1

4

，+∞）时，f′（x）＞0，
∵f（x）在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，
则有

k-1＜ 1 4 ＜k+1 k-1≥0

，解得1≤k＜

5

4

，
∴实数k的取值范围是[1，

5

4

]．
故选：B．

点评：本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于基础题．