Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+3，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）已知{b_n}是等比数列，且b₁=a₂，b₄=a₆+S₈．求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得到数列{a_n}是以a₁=1为首项，公差d=3的等差数列，然后由等差数列的通项公式和等差数列的前n项和得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a₂和S₈，代入b₁=a₂，b₄=a₆+S₈求得等比数列{b_n}的首项和公比为q，则数列{b_n}的前n项和可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+3，n∈N^*，
∴a_n+1-a_n=3，n∈N^*，
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，公差d=3的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×3=3n-2，
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+3n-2)

2

=

3

2

n2-

1

2

n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n=3n-2，
∵a2=4，S8=

8(a1+an)

2

=

8(1+22)

2

=92，
∴b₄=a₆+S₈=16+92=108．
设等比数列{b_n}的公比为q，
则q3=

b4

b1

=

108

4

=27，
∴q=3，
数列{b_n}的前n项和Bn=

4(1-3n)

1-3

=2×3n-2．

点评：本题考查了等差关系与等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．