Question

已知且，函数，，记
（1）求函数的定义域及其零点；
（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），0；（2）

试题分析：（1）均有意义时，才有意义，即两个对数的真数均大于0.解关于x的不等式即可得出的定义域，函数的零点，即，整理得，对数相等时底数相同所以真数相等，得到，基础x即为函数的零点（2）即，，应分和两种情况讨论的单调性在求其值域。有分析可知在这两种情况下均为单调函数，所以的值域即为。解关于m的不等式即可求得m。所以本问的重点就是讨论单调性求其值域。
试题解析：（1）解：（1）（且）
，解得，
所以函数的定义域为                               2分
令，则（*）方程变为
，，即
解得，                                    3分
经检验是（*）的增根，所以方程（*）的解为，
所以函数的零点为，                              4分
（2）∵函数在定义域D上是增函数
∴①当时， 在定义域D上是增函数
②当时，函数在定义域D上是减函数    6分
问题等价于关于的方程在区间内仅有一解，
∴①当时，由（2）知，函数F（x）在上是增函数
∴∴只需  解得：或
∴②当时，由（2）知，函数F（x）在上是减函数
∴ ∴只需   解得：  10分
综上所述，当时：；当时，或（12分）