Question

（理科）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的底面是等腰直角△，AB=AC=2，∠BAC=90°，棱AA₁=3，若D是BC点．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求异面直线DC₁与AB₁所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据AB=AC=2且D是BC中点得到AD⊥CB；再结合其为直三棱柱得到AD⊥B₁B；即可得AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，得到对应点的坐标以及对应向量的坐标，再代入向量的数量积求夹角公式即可得到结论．
解答：解：（1）∵AB=AC=2且D是BC中点
∴AD⊥CB，①
∵是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AD⊥B₁B．②
∴由①②得：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，3），D（1，1，0），B₁（2，0，3）
所以；=（-1，1，3），=（2，0，3）．
∴cosθ===．
故异面直线DC₁与AB₁所成角的大小为：arccos．
点评：本题主要考查异面直线及其所成的角．对于本题，如果不用空间向量计算，要平移直线好几次，并且线段长度不好计算，所以用了建坐标系来解决．