Question

将各项均为正数的数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示，记表中各行的第一个数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成数列{b_n}，各行的最后一个数a₁，a₃，a₅，a₁₀，…，构成数列{c_n}，第n行所有数的和为S_n（n=1，2，3， 4，…）。已知数列{b_n}是公差为d的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q，且a₁=a₁₃=1，。

（1）求数列{c_n}，{S_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n的表达式。

Answer 1

解：（1）解：b_n=dn-d+1，前n行共有1+2+3+…+n=个数，
因为，
所以a₁₃=b₅×q²，即（4d+1）q²=1，
又因为
所以a₃₁=b₈×q²，即
解得d=2，。
所以
 。
（2）
 
①②两式相减得


所以。