Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=(

1

2

)an+n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）当n大于等于2时，利用前n项的和减去前n-1项的和得到数列的通项公式，然后把n=1代入验证；
（II）把数列a_n的通项公式代入到bn=(

1

2

)an+n中化简，然后列举出数列b_n的各项，得到数列b_n的前n项和为一个等比数列和一个等差数列的和，分别利用求和公式求出即可．

解答：解：（I）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
当n=1时，a₁=2也适合上式，
∴a_n=2n．
（II）由（I）知，bn=(

1

2

)an+n=(

1

4

)n+n．
∴Tn=

1

4

+(

1

4

)2++(

1

4

)n+(1+2+…+n)=

1 4 [(1-( 1 4 )n)]

1- 1 4

+

n(n+1)

2

=

1

3

[1-(

1

4

)n]+

n(n+1)

2

．

点评：考查学生会利用做差求数列的通项公式，灵活运用等比、等差数列的前n项和的公式化简求值．