Question

本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线（）与椭圆交于不同的两点，，以线段为直径作圆．若圆与轴相切，求直线被圆所截得的弦长．

Answer 1

(I)；（2）.

【解析】

试题分析：（1）抛物线的焦点坐标为,得到；

根据椭圆的离心率，得到

即可得到椭圆方程.

（2）由题意知，圆心为线段中点，且位于轴的正半轴，

设的坐标为

根据圆与轴相切，不妨设点在第一象限，又，得到

进一步得到圆心、半径、圆的方程

根据圆心到直线的距离

利用“圆的特征三角形”确定被圆所截得的弦长.

试题解析：（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以 2分

又椭圆的离心率，所以

所以椭圆方程为： 5分

（2）由题意知，圆心为线段中点，且位于轴的正半轴，

故设的坐标为

因为圆与轴相切，不妨设点在第一象限，又，所以

解得 8分

圆心,半径

圆的方程为： 10分

又圆心到直线的距离

所以，直线被圆所截得的弦长为：

13分

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.抛物线的几何性质；3.直线与圆的位置关系.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 试题属性

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