Question

已知函数f（x）=

-x2+ax，x≤1 2ax-5，x＞1

，若存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜2

B．a＜4

C．2≤a＜4

D．a＞2

Answer 1

分析：已知函数f（x）的解析式，存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，根据函数的对称轴和二次函数的图象进行求解；

解答：解：当x≤1时，f（x）=-x²+ax，开口向下，对称轴为x=-

a

-2

=

a

2

，
x＞1时，一次函数y=2ax-5恒过点（0，-5），是一条直线，与x轴的交点（

5

2a

，0），
根据存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
当-

a

-2

＜1时，即a＜2，对称轴小于1，开口向下，此时直线y=2ax-5，与x轴的交点（

5

2a

，0），
此时

5

2a

＞

5

4

，如下图：


肯定存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
满足条件；即a＜2；
当a≥2时，对称轴大于1，存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，
如下图：
直线y=2ax-5在直线l处肯定不行，在m处可以，
此时需要：二次函数y=-x²+ax，在x=1处的函数值，大于等于一次函y=2ax-5数在x=1处的函数值，
可得在x=1处有1+a＞2a-5，即2≤a＜4，
综上得a＜4；
故选B；

点评：此题主要考查二次函数的性质及其图象，考查的知识点比较全面，用到了分类讨论的思想，是一道基础题；