Question

对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．

       （1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

       （2）设，生成函数．若不等式

在上有解，求实数的取值范围；

       （3）设，取，生成函数使恒成立，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）① 设，即，取，所以是的生成函数．……………………2分

② 设，即，

则，该方程组无解．所以不是的生成函数．………4分

（2）…………………………5分

若不等式在上有解，

，即……7分

设，则，，……9分

，故，．………………………………………………………10分

（3）（解法一）由题意，对一切恒成立。

即对一切恒成立。

当时，恒成立，此时；

当时，恒成立，可得，故；

又，综上可知， …………………18分

（解法二）由题意，得

 若，则在上递减，在上递增，

则，所以，得  

 若，则在上递增，则，

所以，得．

 若，则在上递减，则，

故，无解 

综上可知，………………………………………………………18分