Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）记b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，求

lim

n→∞

An

2n

的值．

Answer 1

分析：（1）先整理出所给的递推式，向要求的数列表现形式方向整理，结果发现要求数列的表达式，数列后一项与前一项之比是一个常数，利用等比数列的定义，证得数列{b_n}是等比数列．
（2）由（1）所得的结论，写出数列的通项公式，仿写一系列式子，用叠加的方法得到通项的表示式，在表示式中出现等比数列的求和，一定要注意的是，公比与1的关系．
（3）先求A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，再利用二项式系数的性质，利用二项式定理化简，注意到公比的范围，从而求极限．

解答：解：（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）（2分）
又a₁=1，a₂=2，所以b₁=a₂-a₁=1，又q≠0．
所以{b_n}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）b_n=q^n-1（5分）
注：在证明中若从b_n=qb_n-1（n≥2）得出{b_n}是等比数列扣（1分）．
（2）由b_n=a_n+1-a_n及b_n=q^n-1得a_n+1-a_n=q^n-1（6分）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=q^n-2+q^n-3+…+q+1+（18分）
当q=1时a_n=n（9分）
当q≠1时an=

1-qn-1

1-q

+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=

1-qn-1

1-q

+1=

2-q

1-q

+

qn-1

q-1

An= C 1 n a1+ C 2 n a2+…+ C n n an = 2-q 1-q ( C 1 n + C 2 n +…+ C n n )+ 1 q-1 ( C 1 n q0+ C 2 n q1+…+ C n n qn-1)

=

2-q

1-q

(2n-1)+

1

q(q-1)

[(1+q)n-1]（13分）

An

2n

=

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2⇒-1＜

q+1

2

＜1
则

lim

n→∞

(

1+q

2

)n=0，又

lim

n→∞

1

2n

=0
所以

lim

n→∞

An

2n

=

lim

n→∞

{

q-2

q-1

(1-

1

2n

)+

1

q(q-1)

[(

1+q

2

)n-

1

2n

]}=

q-2

q-1

（16分）

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查考查证明一个数列是等比数列的方法是利用等比数列的定义；利用等比数列的前n项和的公式时，一定注意公比为1时要分类讨论．考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．考查数列的极限的求法．