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已知n＞2,n∈N,求证:3
n
＞2
n-3
(n
2
+3n+8).
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证明:3
n
=(2+1)
n
=2
n
+n·2
n-1
+
·2
n-2
+…+1
＞2
n
+n·2
n-1
+
·2
n-2
=2
n-3
(n
2
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（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a
2
-a-6=0，b
2
-b-6=0，数列{a
n
}、{b
n
}满足a
1
=1，a
2
=-6
a
，a
n+1
=6a
n
-9a
n-1
（n≥2，n∈N
*
），b
n
=a
n+1
-ba
n
（n∈N
*
）．
（1）求证数列{b
n
}是等比数列；
（2）已知数列{c
n
}满足c
n
=
a
n
3
n
（n∈N
*
），试建立数列{c
n
}的递推公式（要求不含a
n
或b
n
）；
（3）若数列{a
n
}的前n项和为S
n
，求S
n
．
（2012•通州区一模）在直角坐标系中，点O为坐标原点，已知
OA
1
=(-
1
4
，0)
，
A
i
A
i+1
=(2i-1，0)
（i=1，2，3…，n，…），△A
i
B
i
A
i+1
（i=1，2，…，n，…）是等边三角形，且点B
1
，B
2
…B
n
…在同一条曲线C上，那么曲线C的方程是
y
2
=3x；
y
2
=3x；
；设点B
n
（i=1，2，…n…）的横坐标是n（n∈N*）的函数f（n），那么f（n）=
(n-
1
2
)
2
(n-
1
2
)
2
．
已知函数f（x）=log
3
（ax+b）图象过点A（2，1）和B（5，2），设a
n
=3
f（n）
，n∈N
*
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及数列{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式
对一切n∈N*均成立的最大实数a；
（Ⅲ）对每一个k∈N
*
，在a
k
与a
k+1
之间插入2
k-1
个2，得到新数列：a
1
，2，a
2
，2，2，a
3
，2，2，2，2，a
4
，…，记为{b
n
}，设T
n
是数列{b
n
}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T
m
=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
已知从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m＜n，n，m∈N），共有C
n+1
m
种取法．在这C
n+1
m
种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和（m-1）个白球，共有C
1
C
n
m
+C
1
1
C
n
m-1
种取法，即有等式C
n
m
+C
n
m-1
=C
n+1
m
成立．试根据上述思想，化简下列式子：C
n
m
+C
k
1
C
n
m-1
+C
k
2
C
n
m-2
+…+C
k
k
C
n
m-k
=
．（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）
关 闭
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·2n-2+…+1
·2n-2=2n-3(n2+3n+8).
·2n-2+…+1·2n-2=2n-3(n2+3n+8).
对一切n∈N*均成立的最大实数a；