题目内容
【题目】狄利克雷是19世纪德国著名的数学家，他定义了一个“奇怪的函数”
，下列关于狄利克雷函数的叙述正确的有：______.
①
的定义域为
，值域是
②具有奇偶性，且是偶函数
③是周期函数，但它没有最小正周期 ④对任意的
，
【答案】①②③④
【解析】
根据实数分为有理数和无理数以及函数值域的定义,可知结论①正确;由偶函数定义可证明结论②正确;由函数周期性定义可判断结论③正确;将
代入
，可判断④正确.
因为中自变量的取值为有理数和无理数，所以的定义域为
当自变量为有理数时，函数值为1
当自变量为无理数时，函数值为0，则值域为
，故①正确；
，
是偶函数，故②正确；
当
为有理数时，
，所以任何一个有理数都是的周期，即是周期函数，且没有最小正周期，故③正确；
对任意的
，等于1或0，不管是1还是0都为有理数，则
，故④正确；
故答案为：①②③④
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