Question

若x,y 满足条件求下列各式的最大值与最小值：

(1)z=2x+y；(2)z=2x-3y.

Answer 1

解：(1)作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.

把z=2x+y变形为y=-2x+z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行直线.

由图可以看出，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小.

解方程组得A点坐标为(5，2).解方程组得B点坐标为(1，1).所以z_max=2×5+2=12,z_min=2×1+1=3.

(2) 把z=2x-3y变形为y=x-得到斜率为，在y轴上截距为-，且随z变化的一组平行直线.由图可知，当直线经过可行域上点A(5,2)时，截距-最小，从而z最大；当直线经过可行域上C点时，截距-最大，从而z最小.

解方程组得C点坐标为(1，)，所以

z_max=2×5-3×2=4,z_min=2×1-3×=-.