Question

设两种浓度分别为

a1

b1

、

a2

b2

(

a1

b1

＜

a2

b2

，a1、a2、b1、b2＞0)的溶液各m、n（m＞0，n＞0）克，把它们混合后，所得到的溶液的浓度介于混合前两溶液浓度之间．请从这个事实提炼出一个不等式为

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

．

Answer 1

分析：结论为：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，首先证明

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，再利用不等式的性质可得此不等式正确，然后同理可得：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

正确，进而得到答案．

解答：证明：结论为：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，
首先证明

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

，
因为a₁、a₂、b₁、b₂＞0，
所以不等式分子与分母交叉相乘可得：a₁b₂+a₂b₂＜a₂b₁+a₂b₂，
所以整理可得

a1

b1

＜

a2

b2

，即原不等式正确．
同理可得：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

正确．
故答案为：

a1

b1

＜

a1+a2

b1+b2

＜

a2

b2

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，以及不等关系的证明方法，此题属于基础题．