Question

已知递增等差数列{a_n}公差为d，正项等比数列{b_n}公比为q，（q≠1），是否存在实数m，使得logm

bn

man

与n无关？若存在，求出m，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：由d＞0，q＞0，q≠1，知logm

bn

man

=logmbn-an=logmb1qn-1-[a1+(n-1)d]=（-a₁+log_mb₁）+（n-1）（log_mq-d），要使其与n无关，只需log_mq-d=0，由此能求出m．

解答：解：∵d＞0，q＞0，q≠1，
∴logm

bn

man

=logmbn-an=logmb1qn-1-[a1+(n-1)d]
=（-a₁+log_mb₁）+（n-1）（log_mq-d），
要使其与n无关，
只需log_mq-d=0，
即m=q

1

d

，
此时∵q＞0，q≠1，
∴m＞0，m≠1，满足要求的m存在，
为m=q

1

d

．

点评：本题考查等差数列的通项公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．