Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B是边长为2的正方形，点C在平面AA₁B₁B上的射影H恰好为A₁B的中点，且CH=，设D为中点，

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为且正方形中，所以，

取中点，则且
，又为的中点，
所以，得平行四边形HEDC，
因此，又，
得，，所以

平面    ………………………………6分
（Ⅱ）取中点，连，作于
因为，，所以平面平面，由（Ⅰ）得平面，
所以平面，又，所以，又，得 平面，所以与平面所成角为 ……………10分
在中，，
在中，由于，…………14分
另解：（向量法）（Ⅰ）
如图，以H为原点，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，），C₁（），A₁
（），B₁（0，，0），所以

，
，因此平面； ………………6分
（Ⅱ）设平面的法向量，由于
则，
得，所以  ……………………10分
又，所以……14分

略