题目内容

在棱长为a的正方体OABC-O¢A¢B¢C¢中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．

（1）求证A¢F^C¢E；

（2）当三棱锥B¢-BEF的体积最大时，求二面角B¢-BF-B的大小．

答案：
解析：

证法一：（1）如图：设AE=BF=x，延长AB到M使AB=BM，过M作BQ使MQ∥BC，MQ=a+x，连C¢Q，则C¢Q∥AF¢ÐEC¢Q就是异面直线A¢F与C¢E所成的角（或补角），在DC¢EQ中，C¢E=

∴ ÐEC¢Q=90°    即A¢F^C¢E

（2）

当且仅当x=时取等号，即E、F都是中点，

过B作BD^EF于D，连结B¢D，ÐB¢DB就是二面角的平面角，ÞÐB¢DB=arctan

证法二：（1）以为x正半轴，为y正半轴，为z正半轴，AE=BF=x，则A¢(a，0，a)，F(a-x，a，0)，C¢(0,a，a)，E(a，x，0)

=(-x，a，-a)    =(a，x-a，-a)

=-xa+ax-a2+a2=0    ∴

∴ A¢F^C¢E

（2）同上


练习册系列答案
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3
，又AA1⊥A1C，AA1=A1C．
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（Ⅱ）当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的大小．（结果用反三角函数表示）
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