题目内容

已知向量 $数学公式$ =（4，-2）， $数学公式$ =（x，1）．
（I）若 $数学公式$ ， $数学公式$ 共线，求x的值；
（II）若 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，求x的值；
（III）当x=2时，求 $数学公式$ 与 $数学公式$ 夹角θ的余弦值．

解：（I）因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线，所以-2x=4．则 x=-2．（4分）
（II）因为 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，所以 4x-2=0，解得 $\text{[math]}$ ．（8分）
（III）当x=2时， $\text{[math]}$ =6，再由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（I）利用两个向量共线的性质，可得所以-2x=4，从而求得x的值．
（II）利用两个向量垂直的性质，可得所以4x-2=0，从而求得x的值．
（III）当x=2时，先求出 $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |，| $\text{[math]}$ |，再利用两个个向量夹角公式求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角θ的余弦值．
点评：本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．