题目内容

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有 $数学公式$ ，则关于函数f（x）有（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；（3）对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）＜f（x₂）；（4）对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），上述四个命题中正确的有 ________．

解：由于命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，
对于命题（1）（2），令x₁=x，x₂=1-x，结合①则有 $\text{[math]}$ ，等号当 $\text{[math]}$ 时成立
又由②知 $\text{[math]}$ ，由此知 $\text{[math]}$ =1，即f（x）=f（1-x），故（2）对；
对于（3）（4），将②中的变量x₁，x₂交换位置可得 $\text{[math]}$
故有 $\text{[math]}$ 等号当且仅当 $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1时成立
又由①即基本不等式知 $\text{[math]}$ 等号当且仅当 $\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1时成立
故有 $\text{[math]}$ =1，即对任意x₁，x₂∈（0，1），都有f（x₁）=f（x₂），（4）正确
综上知（2）（4）正确．
故答案为（2）（4）．
分析：观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，（3）（4）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x₁=x，x₂=1-x，即可得到 $\text{[math]}$ 结合已知条件②即可得到（2）是正确的；对于（3）（4）对条件 $\text{[math]}$ 中的两个变量x₁，x₂交换位置可得 $\text{[math]}$ 两式相加即可得到结论．
点评：本题考点是抽象函数及其应用，解决本题的关键是构造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等号成立的条件找到命题正确判断的依据，本题较抽象，要求解题者构造证明问题的意识要强．入手难，难度较大．