Question

在海岛上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.

(1) 求船的航行速度；

(2) 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.

Answer 1

【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力，具体涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面积公式.

       【试题解析】解：⑴设船速为km/h，则km.

在△中，∠与俯角相等为30°，∴.

同理，△中，.                              (4分)

在△中，∠15°＋45°＝60°，

∴由余弦定理得，

∴km/h，∴船的航行速度为km/h.              　(6分)

⑵(方法一) 作于点，∴当船行驶到点时，最小，从而最小.

此时，.                  (10分)

∴＝.

∴船在行驶过程中与观察站的最短距离为km.                    (12分)

 (方法二) 由⑴知在△中，由正弦定理，

∴.                                             (8分)

作于点，∴当船行驶到点时，最小，从而最小.

此时，.                              (10分)

∴＝.

∴船在行驶过程中与观察站的最短距离为km.                    (12分)