Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a、b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明．

Answer 1

（1）由已知得：

5 2 =2+2a+b 17 4 =4+22a+b

，解得

a=-1 b=0

．
（2）由（1）知：f（x）=2^x+2^-x．任取x∈R，则f（-x）=2^-x+2^-（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数．
（3）函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．
证明：设x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（2x1+2-x1）-（2x2+2-x2）=（2x1-2x2）+（

1

2x1

-

1

2x2

）=

(2x1-2x2)(2x12x2-1)

2x12x2

∵x₁＜x₂＜0，∴0＜2x1＜2x2＜1，∴2x12x2＞0，，∴2x1-2x2＜0，，∴2x12x2-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，0]上为减函数．