Question

已知f（x）是R上的单调函数，?x₁，x₂∈R，?x∈R，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）若f（x）=1，且?_n∈N⁺，有a_n=，b_n=f（）+1，记S_n=，T_n=，
，比较S_n与T_n的大小并给出证明；
（Ⅲ）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞对?n≥2都成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），故f（x）=-f（0）；令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），故f（1）=-f（0）．所以f（x）=f（1），f（x）是R上的单调函数，由此能求出x的值．
（Ⅱ）由f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），知f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，所以f（n）=2n-1.，．由此能比较S_n与T_n的大小并给出证明．
（Ⅲ）令F（n）=a_n+1+a_n+1+…+a_2n，则F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=＞0．当n≥2时，故，由此能x的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x）+2f（0），
∴f（x）=-f（0），①
令x₁=1，x₂=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），
∴f（1）=-f（0），②
由①、②知，f（x）=f（1），又f（x）是R上的单调函数，
∴x=1． …（4分）
（Ⅱ）∵f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），
∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，
即数列{f（n）}是以2为公差1为首项的等差数列，
∴f（n）=2n-1．
∴，．
S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=
=
=．
∴，
T_n=
=
=
=
=．
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n+C_n¹•3¹+C_n²•3²+…+C_nⁿ•3ⁿ＞3n+1＞2n+1，
∴．…（10分）
（Ⅲ）令F（n）=a_n+1+a_n+1+…+a_2n，
则F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1==＞0，
∴当n≥2时，．…（12分）
对?n≥2都成立，
∴-2）+1]，
∴，
∴，即，
∴．…（15分）
点评：本题首先考查数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．