题目内容

函数f（x）= $数学公式$ （0＜x＜1）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足： $数学公式$ ，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x），的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{ $数学公式$ - $数学公式$ }的项中仅 $数学公式$ - $数学公式$ 最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g（x）=[f^-1（x）+f（x）]- $数学公式$ ，0＜x＜1．数列{x_n}满足：x₁= $数学公式$ ，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^）．证明： $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜ $数学公式$ ．

解：（1）令 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函数f（x）的反函数 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ 是以2为首项，1为公差的等差数列，故 $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴y=f^-1（x）在点（n，f^-1（n））处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，令x=0得 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵仅当n=5时取得最小值，∴ $\text{[math]}$ ．
∴λ的取值范围为（9，11）．
（3） $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ，又因0＜x_n＜1，则x_n+1＞x_n．显然 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）令 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ；由0＜x＜1，解得y＞0．所以函数f（x）的反函数 $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由 $\text{[math]}$ ，知y=f^-1（x）在点（n，f^-1（n））处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，令x=0得 $\text{[math]}$ ．由此能求出λ的取值范围．
（3） $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ，由0＜x_n＜1，知x_n+1＞x_n． $\text{[math]}$ ．由此入手能够证明： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地进行等价转化．