Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A_l，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1，kMA2为定值．

Answer 1

（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵离心率e=

3

3

，∴a²=3c²，∴b²=2c²
∵直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切
∴b=

2

2

=

2

∴c²=1
∴a²=3
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），
设M点坐标（x₀，y₀），则

x02

3

+

y02

2

=1
∴y02=

2

3

(3-x02)
∴kMA1•kMA2=

y0

x0+ 3

×

y0

x0- 3

=

y02

x02-3

=

2 3 (3-x02)

x02-3

=-

2

3

∴kMA1•kMA2是定值-

2

3

是定值．