Question

如图所示,半径为R的球有一个内接圆柱,这个圆柱的底面半径为何值时,它的侧面积最大?最大值是多少?

Answer 1

思路解析:解决最值问题应先构造以圆柱的半径为自变量、以它的侧面积为函数的函数表达式、然后分析函数的类型、再求侧面积的最大值.这是两个旋转体的组合、研究时、应取圆柱的轴截面图形、将它转化为平面几何的问题来解决.

解:如题图、取圆柱的轴截面ABCD、则⊙O为球的一个大圆.

设圆柱的底面半径为r、高为h、侧面积为S、

连结OB,作OH⊥AB、交AB于H.

在Rt△OBH中,有()²=R²-r²,即h=

∴S=2πrh=2πr·

∴S²=16π²r²()²=-16π²r²(r²)²+16π²R²r².

∵这是一个关于r²的二次函数、

∴当r²=-时,S有最大值、最大值为4π·=2πR².

故当这圆柱的底面半径为R时,它的侧面积最大,最大值是2πR².

另:求S²=16π²r²(R²-r²)的最大值时还可考虑运用重要不等式S²≤16π²()²=4π²R⁴.∴S≤2πR².当且仅当r²=R²-r²,即r²=,r=R时等号成立.故S的最大值为2πR².