Question

如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.

Answer 1

旋转所得到的几何体的表面积为R² 体积是 R³

解析:

如图所示,过C作CO₁⊥AB于O₁,

在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,

∴AC=R,BC=R,CO₁=R,

∴S_球=4R²,

=×R×R=R²,

=×R×R=R²,

∴S_几何体表=S_球++

=R²+R²=R²,

∴旋转所得到的几何体的表面积为R².

又V_球=R³,=·AO₁·CO₁²=R²·AO₁

=BO₁·CO₁²=BO₁·R²

∴V_几何体=V_球-（+）

=R³-R³=R³.