Question

已知椭圆E：-=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），且E的离心率e=．
（1）求E的方程；
（2）过圆O：x²+y²=上任意一点P引O的切线l与E相交于A、B两点，求证：∠AOB为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆E：-=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率e=，知由此能求出E的方程．
（2）设过圆O：x²+y²=上任意一点P的切线l的方程为y=kx+m，由点到直线的距离公式求得m=，不妨取l方程为：y=kx+，联立，得（4k²+3）x+8kx+-=0，利用韦达定理推导出，由此得到∠AOB=为定值．
解答：解：（1）∵椭圆E：-=1（a＞b＞0）的一个焦点为（1，0），离心率e=，
∴，∴a=2，c=1，b²=4-1=3．
∴E的方程为．
（2）设过圆O：x²+y²=上任意一点P的切线l的方程为y=kx+m，
则，解得m=，
不妨取m=，则l的方程为：y=kx+，
联立，
消去y，整理得（4k²+3）x+8kx+-=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，x₁x₂=，
∴y₁y₂=（kx₁+）（kx₂+）
=k²x₁x₂+k+
=-+
=．
∴=x₁x₂+y₁y₂=+=0．
∴，
∴∠AOB=为定值．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系的综合运用．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量知识的合理运用．