Question

如图，是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．
（1）设，将用、、表示；
（2）设，，证明：是定值；
（3）记△与△的面积分别为、．求的取值范围．
（提示：

Answer 1

（1）． （2）（定值）．（3）的取值范围

第一问中利用（1）

第二问中，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴
而、不共线，∴由①、②，得
第三问中，
由点、的定义知，，
且时，；时，．此时，均有．
时，．此时，均有．
以下证明：，结合作差法得到。
解：（1）
．
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵是△的重心，
∴． ②
而、不共线，∴由①、②，得 
解之，得，∴（定值）．
（3）．
由点、的定义知，，
且时，；时，．此时，均有．
时，．此时，均有．
以下证明：．（法一）由（2）知，
∵，∴．
∵，∴．
∴的取值范围