Question

已知椭圆C：的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．因为，所以a=2c，b=．再由直线l与椭圆C相切，能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线m的方程为y=k（x-4），由，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-＜k＜．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，．由此能求出直线m的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y-4=0．…（1分）
因为，所以a=2c，b=．
设椭圆方程为，
由，消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因为直线l与椭圆C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以椭圆方程为．…（5分）
（Ⅱ）∵直线m的斜率存在，∴设直线m的方程为y=k（x-4），…（6分）
由，消去y，
整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．…（7分）
由题意知△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，
解得-＜k＜．…（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，．…（9分）
又直线l：x+2y-4=0与椭圆C：相切，
由，
解得，所以P（1，）．…（10分）
则．所以|AM|•|AN|==．
又•
=•
=（k²+1）（4-x₁）（4-x₂）
=
=（k²+1）（-4×+16）
=（k²+1）•．
所以（k²+1）•=，解得k=．经检验成立．…（13分）
所以直线m的方程为y=．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在．综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．