Question

一个四面体ABCD的所有棱的长度都为

2

，四个顶点A、B、C、D在同一球面上，则A、B两点的球面距离为

3

2

(π-arccos

1

3

)

．

Answer 1

分析：由题意求出外接球的半径，设球心为O，然后求出∠AOB的大小，即可求解其外接球球面上A、B两点间的球面距离．

解答：解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：

3

，
正四面体的外接球的半径为：

3

2

．
设球心为O．
∴cos∠AOB=

( 3 2 )2+( 3 2 )2-( 2 )2

2× 3 2 × 3 2

=-

1

3

，
∴∠AOB=π-arccos

1

3

，
外接球球面上A、B两点间的球面距离为：

3

2

(π-arccos

1

3

)．
故答案为：

3

2

(π-arccos

1

3

)

点评：本题考查正四面体的外接球的球面距离的求法，考查空间想象能力，计算能力．