Question

函数（x＞0，a＞0）．
（1）当a=1时，证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）在（0，2）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

证明：（1）当a=1时，（x＞0，a＞0），f′（x）=1-=．…（2分）
∵x＞1，∴x²＞1，即 x²-1＞0，∴＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数． …（6分）
（2）f′（x）=1-=，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是减函数，则当x∈（0，2）时，x²-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x²恒成立，即a≥2²=4，∴a≥4． …（12分）
分析：（1）当a=1时，f′（x）=1-=，由x＞1可得f′（x）＞0，从而得f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）先求出f′（x）=1-=，由题意可得当x∈（0，2）时，x²-a≤0恒成立，故a≥2²=4．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的恒成立问题，属于中档题．