题目内容

(2007•闵行区一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,0<ω<2,|φ|<
π
2
)
的一系列对应值如下表:
x -
π
6
π
3
6
3
11π
6
3
17π
6
y -1 1 3 1 -1 1 3
(1)根据表格提供的数据求函数y=f(x)的解析式;
(2)(文)当x∈[0,2π]时,求方程f(x)=2B的解.
(3)(理)若对任意的实数a,函数y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
3
]
的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,又当x∈[0,
π
3
]
时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
分析:(1)由已知中表格中提供的数据,我们可以判断出函数的最值及周期,进而A,B与最值的关系,ω与周期的关系,确定出A,B,ω的值,代入最大值点的坐标后,即可求出φ的值,进而得到函数的解析式.
(2)由(1)中所得的B值,我们可以构造出一个三角方程,根据正弦函数的性质及已知中x∈[0,2π],可求出对应的x值,得到答案.
(3)若函数y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
3
]
的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,则函数的周期为
3
,又由当x∈[0,
π
3
]
时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,我们可以构造出一个关于m的不等式,解不等式即可得到实数m的取值范围.
解答:解:(1)依题意,T=
ω
=2[
6
-(-
π
6
)]
,∴ω=1(2分)
B+A=3
B-A=-1
,解得
A=2
B=1
(5分)
f(
6
)=2sin(
6
+φ)=3,|φ|<
π
2
,解得φ=-
π
3
(7分)
f(x)=2sin(x-
π
3
)+1
为所求.(8分)
(2)文:由f(x)=2B,得sin(x-
π
3
)=
1
2
(10分)
∵x∈[0,2π],∴-
π
3
≤x-
π
3
3
(12分)
x-
π
3
=
π
6
x-
π
3
=
6
,即x=
π
2
,x=
6
为所求.(14分)
(3)理:由已知条件可知,函数y=f(kx)=2sin(kx-
π
3
)+1
的周期为
3

又k>0,∴k=3(10分)
t=3x-
π
3
,∵x∈[0,
π
3
]

t=3x-
π
3
∈[-
π
3
3
]

而sint在[-
π
3
π
2
]
上单调递增,在[
π
2
3
]
上单调递减,且sin
π
3
=sin
3
=
3
2

如图∴sint=s在[-
π
3
3
]
上有两个不同的解的充要条件是s∈[
3
2
,1)
,(12分)
∴方程f(x)=m恰有两个不同的解的充要条件是m∈[
3
+1,3)
.(14分)
(注:单调区间写成[-
π
2
π
2
]
[
π
2
2
]
也行;直接数形结合得到正确结果,也可)
点评:本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法,三角方程的解法,正弦函数的图象和性质,其中(1)的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系,(2)的关键是熟练掌握正弦型函数的性质,(3)的关键是将已知,结合正弦函数的性质,转化为一个关于m的不等式.
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