题目内容
(2007•闵行区一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,0<ω<2,|φ|<
)的一系列对应值如下表:
(1)根据表格提供的数据求函数y=f(x)的解析式;
(2)(文)当x∈[0,2π]时,求方程f(x)=2B的解.
(3)(理)若对任意的实数a,函数y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,又当x∈[0,
]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.
π |
2 |
x | -
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||
y | -1 | 1 | 3 | 1 | -1 | 1 | 3 |
(2)(文)当x∈[0,2π]时,求方程f(x)=2B的解.
(3)(理)若对任意的实数a,函数y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
2π |
3 |
π |
3 |
分析:(1)由已知中表格中提供的数据,我们可以判断出函数的最值及周期,进而A,B与最值的关系,ω与周期的关系,确定出A,B,ω的值,代入最大值点的坐标后,即可求出φ的值,进而得到函数的解析式.
(2)由(1)中所得的B值,我们可以构造出一个三角方程,根据正弦函数的性质及已知中x∈[0,2π],可求出对应的x值,得到答案.
(3)若函数y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点,则函数的周期为
,又由当x∈[0,
]时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,我们可以构造出一个关于m的不等式,解不等式即可得到实数m的取值范围.
(2)由(1)中所得的B值,我们可以构造出一个三角方程,根据正弦函数的性质及已知中x∈[0,2π],可求出对应的x值,得到答案.
(3)若函数y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
2π |
3 |
2π |
3 |
π |
3 |
解答:解:(1)依题意,T=
=2[
-(-
)],∴ω=1(2分)
又
,解得
(5分)
f(
)=2sin(
+φ)=3,|φ|<
,解得φ=-
(7分)
∴f(x)=2sin(x-
)+1为所求.(8分)
(2)文:由f(x)=2B,得sin(x-
)=
(10分)
∵x∈[0,2π],∴-
≤x-
≤
(12分)
∴x-
=
或x-
=
,即x=
,x=
为所求.(14分)
(3)理:由已知条件可知,函数y=f(kx)=2sin(kx-
)+1的周期为
,
又k>0,∴k=3(10分)
令t=3x-
,∵x∈[0,
],
∴t=3x-
∈[-
,
]
而sint在[-
,
]上单调递增,在[
,
]上单调递减,且sin
=sin
=
,
如图∴sint=s在[-
,
]上有两个不同的解的充要条件是s∈[
,1),(12分)
∴方程f(x)=m恰有两个不同的解的充要条件是m∈[
+1,3).(14分)
(注:单调区间写成[-
,
]、[
,
]也行;直接数形结合得到正确结果,也可)
2π |
ω |
5π |
6 |
π |
6 |
又
|
|
f(
5π |
6 |
5π |
6 |
π |
2 |
π |
3 |
∴f(x)=2sin(x-
π |
3 |
(2)文:由f(x)=2B,得sin(x-
π |
3 |
1 |
2 |
∵x∈[0,2π],∴-
π |
3 |
π |
3 |
5π |
3 |
∴x-
π |
3 |
π |
6 |
π |
3 |
5π |
6 |
π |
2 |
7π |
6 |
(3)理:由已知条件可知,函数y=f(kx)=2sin(kx-
π |
3 |
2π |
3 |
又k>0,∴k=3(10分)
令t=3x-
π |
3 |
π |
3 |
∴t=3x-
π |
3 |
π |
3 |
2π |
3 |
而sint在[-
π |
3 |
π |
2 |
π |
2 |
2π |
3 |
π |
3 |
2π |
3 |
| ||
2 |
如图∴sint=s在[-
π |
3 |
2π |
3 |
| ||
2 |
∴方程f(x)=m恰有两个不同的解的充要条件是m∈[
3 |
(注:单调区间写成[-
π |
2 |
π |
2 |
π |
2 |
3π |
2 |
点评:本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法,三角方程的解法,正弦函数的图象和性质,其中(1)的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系,(2)的关键是熟练掌握正弦型函数的性质,(3)的关键是将已知,结合正弦函数的性质,转化为一个关于m的不等式.
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