Question

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．

Answer 1

解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=-+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）
（2）函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
，＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．
最大值在右端点取到．
所以a=．
分析：（1）已知a=1，f′（x）=-+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．
点评：考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．