题目内容
已知曲线C：f（x）=x3-ax+a，（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．
【答案】分析：（Ⅰ）利用导数与单调性的关系转化为最值恒成立问题．
（Ⅱ）通过导数求出切线斜率，利用切线的倾斜角互补，建立斜率关系，可求a．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，…（1分）
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立． （4分）
a≤3x2恒成立．因为当1≤x≤2时3x2≥3，可得a≤3． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x2-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x，f（x）），则切线方程为：y=（3x-a）（x-1）…（9分）
将（x，f（x））代入得：
即
（*）
解得x=0或x=
…（12分）
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与
，
因为两条切线的倾斜角互补，所以
，解得
． …（14分）
点评：本题考查导数的单调性与导数之间的关系，以及利用导数求切线方程．
（Ⅱ）通过导数求出切线斜率，利用切线的倾斜角互补，建立斜率关系，可求a．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，…（1分）
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立． （4分）
a≤3x2恒成立．因为当1≤x≤2时3x2≥3，可得a≤3． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x2-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x，f（x）），则切线方程为：y=（3x-a）（x-1）…（9分）
将（x，f（x））代入得：
即
（*）解得x=0或x=
…（12分）故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与
，因为两条切线的倾斜角互补，所以
，解得
． …（14分）点评：本题考查导数的单调性与导数之间的关系，以及利用导数求切线方程．
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