Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=2a_n-2，可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；
（2）由（1）求出S_n的表达式，进而根据其各项由一个等差数列乘一个等比数列构成，故选用错位相减法，得到答案．
解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…..（2分）
即a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
∵a_n≠0
∴=2…（4分）
∵a₁=S₁，
∴a₁=2a₁-2，即a₁=2
∴a_n=2ⁿ    …（6分）
（2）S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ ①…（7分）
∴2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹ ②…（8分）
①-②得-S_n=1×2+（2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹ …（9分）
即-S_n=1×2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹ ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹       …（10分）
∴S_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6                  …..（12分）
点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，及等比数列的确定方法，数列求和，（1）的关键是由S_n=2a_n-2，得到S_n-1=2a_n-1-2，两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，（2）的关键是分析S_n的表达式中各项的特点，又选择恰当的方法．