Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，侧棱长为 1，底面边长为 2，E是棱BC的中点．
（1）求三棱锥D₁-DBC的体积；
（2）证明 BD₁∥平面C₁DE；
（3）求面C₁DE与面CDE所成二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）分别求出高DD₁和底面面积S△_BCD，最后由三棱锥的体积公式求其体积．
（2）根据线面平行的判定理，只要证明EF∥BD₁即可．
（3）先过C作CG⊥DE交DE于G，连接则DE⊥C₁G作出二面角的平面角来，然后在R_t△CDE中，CD=2，CE=1，DE=

5

，求得CG=

2

5

，再由CC₁=1，通过tan∠C₁GC=

|C1C|

|CG|

求解．

解答：解：（1）∵BC=CD=2∴=

1

2

×2×2=2
又∵DD₁=1
∴三棱锥D₁-DBC的体积=

1

3

S△_BCDDD₁=

1

3

×2×1=

2

3

（2分）
（2）设C₁D∩CD₁=F
连接EF∵E为BC的中点F为CD₁的中点
∴EF是△BCD₁的中位线∴EF∥BD₁（3分）
又BD₁在平面C₁DE外，EF在平面C₁DE内
∴BD₁∥平面C₁DE（4分）
（3）过C作CG⊥DE交DE于G，连接
则DE⊥C₁G∴∠C₁GC是二面角C₁-DE-C的一个平面角（5分）
在R_t△CDE中，CD=2，CE=1，DE=

5

∴CG=

2

5

又∵CC₁=1△CC₁G是直角三角形（6分）
∴tan∠C₁GC=

|C1C|

|CG|

=

1

2 5

=

5

2

（7分）

点评：本题主要考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积公式及二面角的几何求法，一般来讲，是一作，二找，三证．