Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论中正确的结论是

①②

．（把你认为正确的结论都填上）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③过点A₁与异面直线AD和CB₁成90°角的直线有2条．

Answer 1

分析：根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得判断①②的真假，根据异面直线所成的角可得③不正确，由此得到答案．

解答：解：如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，
由于BD∥B₁D₁ ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁ ，故①正确．
由正方体的性质可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故②正确．
过点A₁与异面直线AD成90°角的直线必和BC也垂直
过点A₁与直线CB₁成90°角的直线必和CB₁垂直
则该直线必和平面B₁C₁CB垂直，满足条件的只有直线A₁B₁，
故③不正确．
故答案为 ①②

点评：本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．